Grafik Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

A. Bentuk Umum dan Sifat Parabola

Kurva fungsi kuadrat y = f( x ) = ax² + bx + c, a tidak sama dengan nol ( 0 ) berbentuk parabola.

Jika nilai a > 0 maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai ekstrem minimum

Jika nilai a < 0 maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai ekstrem maksimum
Koordinat titik puncak / titik ekstrem / titik stationer / titik balik parabola adalah ( Xp , Yp ) dengan :

  Xp = absis ( x ) titik puncak = sumbu simetri = absis ( x ) saat mencapai nilai maksimum/minimum
Yp = ordinat ( y ) titik puncak = nilai ekstrem/nilai stationer/nilai maksimum/nilai minimum

B. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat / Parabola

Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola ( y  = ax2 + bx + c ) :

1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0

          

kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x1 dan x2 . jika kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya.

jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat namun kita kesulitan dalam menentukannya... bisa jadi karena angkanya yang susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus abc :

setelah kita mendapatkan nilai x₁ dan x₂ maka titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x :
( x₁ , 0 ) dan ( x₂ , 0 ) 

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem ( yp )

dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm   ( yp ) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )

Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x
mengulang pembahasan mengenai titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemungkinan :

D > 0 → grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik
D = 0 → grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di satu titik
D < 0 → grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola :

C. Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

1. Diketahui tiga titik sembarang

Rumus : y =  ax² + bx + c 

nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.

2. Parabola memotong sumbu x di dua titik ( x₁ , 0 )dan ( x₂ , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

 Rumus : y = a ( x - x₁ ).( x - x₂ )
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

3. Parabola menyinggung sumbu x di satu titik ( x₁ , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - x₁ )²
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

4. Parabola melalui titik puncak ( x_p , y_p ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - x_p )² + y_p
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

D. Hubungan Kurva Persamaan Kuadrat / Parabola dan Persamaan Garis Lurus
 

Ciri dan sifat grafik fungsi kuadrat

 Fungsi Kuadrat adalah : suatu fungsi yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi 2. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y=f(x)= ax2+bx+c dan a0, a, b, c R dan x merupakan variabel bebas.

Ciri grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola :

·         Kurva mulus

·         Memiliki sumbu simetri

·         Memiliki titik balik, yaitu titik balik maksimum dan minimum

Sifat grafik fungsi kuadrat:

·         Bila a>0, grafik fungsi kuadrat (parabola) menghadap ke atas (memiliki titik balik minimum)

·         Bila a<0, grafik fungsi kuadrat (parabola) menghadap ke bawah, (memiliki titik balik maksimum)

·         Semakin besar nilai a (dengan tidak memperhatikan tanda positif atau negatif), semakin kurus bentuk dari fungsi kuadrat, sebaliknya semakin kecil nilai a, makin gemuk bentuk fungsi kuadrat.

·         Nilai maksimum dan minimum (titik balik)

Deskriminan:

·         Koordinat titik puncak (titik balik )

·         Titik simetris

·         Titik potong parabola dengan rumus y diperoleh jika x=0

Beberapa hal yang perlu diingat pada grafik fungsi y = ax2 +bx +c a, b, c R, a0:

·         Titik stasioner

·         Definit Positif atau Negatif
Jika D<0 dan a > 0,
y selalu positif untuk setiap x (definit positif)
a < 0
y selalu negatif untuk setiap x (definit negatif)

contoh:
ax2+bx+c = 0
1. Jika ax2+bx+c dapat difaktorkan nyatakan
ax2+bx+c = (x-x1) (x-x2) dengan x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat itu.
2. Jika ax2+bx+c tidak dapat difaktorkan, gunakan metode melengkapkan kuadrat atau rumus kuadrat
Deskriminan persamaan kuadrat tersebut dapat memberikan keterangan tentang titik potong. Titik potong dengan grafik x
b2 -4ac > 0, dua titik potong berlainan
b2 – 4ac = 0, grafik menyinggung sumbu x
b2 – 4ac <0, tidak ada titik potong
Kedudukan parabola terhadap sumbu x
a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D <0
a < 0, D > 0 a < 0, D = 0 a < 0, D <0

Menentukan persamaan kurva dari sebuah persamaan kuadrat dengan ciri-ciri tertentu:
1. Diketahui titik balik kurva

Persamaan kurva dari sebuah persamaan kuadrat yang memiliki titik balik (xe, ye) adalah
y= a (x1-xe)2 +ye
Contoh :
misalkan akan ditentukan persamaan parabola jika grafiknya mempunyai koordinat titik balik (1,4) dan melalui titik (0,3)
Diketahui :
xe= 1 x = 0
ye= 4 y= 3
Ditanya : persamaan parabola?
Jawab :
y = a (x1-xe)2 +ye
y = a (x1-1)2 +4
3= a (0-1)2 +4
(1,4)
3 = a (-1)2 +4
(0,3)
-x2+2x-3
3= a+4
3-4 = -a
-1= a
Jadi, persamaan parabolanya adalah
y = a (x-xe)2 +ye
y = -1 (x-1)2 +4
y = -1 (x2-2x+1) +4
y = -x2 +2x-1 +4
y= -x2 +2x -3

2. Diketahui titik potong kurva dengan sumbu x
Persamaan kurva jika diketahui grafiknya melalui titik (p1, 0) dan (p2, 0 ) adalah :
y = a(x-p1) (x-p2)
Dengan a ditentukan jika diketahui titik lain yang dilalui kurva
Contoh :
suatu parabola memotong sumbu x dititik (- ½, 0) dan (-3, 0). Tentukan persamaan parabola jika kurva melalui titik (-1, 2)
Jawab :
Misal persamaan parabola y = a(x-p1) (x-p2). Titik potong dengan sumbu x di (- ½, 0) dan (-3, 0) maka a (x+ ½ ) (x+3)
Kurva melalui titik (-1,2) maka
Y = a(x+1/2) (x+3)
2= a (-1 +½)( -1 +3)
2 = a(- ½) (2)
2= -(2)
2= -a
a= -2
Jadi persamaan parabola
y= – 2 (x+ ½) (x+3)
y= -2 ( x2 +3x + ½ x +)
y= -2 (x2 +x +)
y= -2×2-7x -3

3. Jika diketahui tiga titik yang dilalui parabolaPersamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode eliminasi dan sibstitusi.
Ciri dan sifat grafik fungsi kuadrat 
contoh :
Tentukan persaman parabola yang melalui titik-titik (-3,1), (-1,-5) dan (2,4)
Jawab:
Misalkan persamaan parabola y=ax2+bx+c melalui titik
(-3, -1) = a(-3)2 + b(-3) +c
= 9a-3b+c=-1………………..(1)

(-1,-5) = a(-1)2 +b (-1) +c = 5
= a-b+c = -5………………….(2)
(2,4) = a(2)2 +b(2) +c =4
=4a +2b+c +4…………………(3)
Dari persamaan 1, 2, 3 ditentukan nilai a, b, c sebagai berikut:
1) 9a -3b +c = -1
2) a – b+ c = -5
8a-2b = 4 atau 4a-b = 2 …….(4)
Persamaan 2 dan 3
2) a – b + c =-5
3) 4a +2b +c =-4
-3a-3b =- 9 atau –a – b =-3….(5)
Persamaan 4 dan 5
4a-b=2 persamaan 5
-a-b=-3 -a-b = -3
5a = 5 -1-b = -3
a = 1 -b = -3+1
-b = -2
b = 2
Dari persamaan( 2) untuk a =1 dan b=2, maka
a-b+c = -5
1-2+c = -5
-1+c = -5
c = -5+1
c = -4
Jadi, persamaan parabolanya adalah
y=ax2 +bx +c
y= 1(x)2 +2(x)-4
y=x2+2x-4
Karena a=1 (a>0) maka grafik terbuka keatas

4. Koordinat titik balik (h,k) bentuk persamaannya
y-k = a(x-h)2
Contoh:
titik balik kurva suatu fungsi kuadrat adalah (-2, -10). jika kurva tersebut melalui titik (2,6) tentukan persamaan fungsi tersebut :
Jawab:
Misalkan persamaan kurva y-k =a(x-h)2 dengan koordinat titik balik (h,k), maka (h,k) (-2, -10)
y-(-10) = a(x-(-2)) 2
y+10 =a(x+2)2
Kurva melalui titik (2,6), maka
y+10 = a (x+2)2
6+10 = a(2+2)2
16 = a.42
16 = a.16
a = 1
Jadi, persaman fungsi yang dimaksud adalah
y+10=(y+2)2 atau y+10 = x2 +4x +4
y = x2+4x +4-10
y = x2+4x-6
(-6,6)
(2,6)
karena maka grafiknya terbuka keatas
2). Fungsi didefinisikan dengan rumus f(x)= 2×2 –x+1, bayangan -3 oleh fungsi tersebut adalah…
Jawab:
f(x) = 2×2-x+1
Bayangan -3 oleh fungsi tertentu adalah f(-3)
Jadi, f(x) =2×2-x+1
f(-3)=2(-3)2-(-3)+1
=18+3+1
= 22
3). Diketahui f(x) =px +q, dimana f(4) = 12, dan f(-2) = 0
Ditanyakan
Nilai p dan q
Tulis rumus fungsi dengan menggantikan nilai p dan q yang telah didapatkan
Hitung f(-5)
Penyelesaian :
f(x) = px+q
f(4) = 4p+q
f(4) = 12
12 = 4p+q………..….Persamaan (1)

f(-2) = -2p+q
f(-2) = 0
0 = -2p+q…………..Persaaan (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
4p+q = 12
-2p+q = 0
6p = 12
p = 2
Substitusi p = 2 ke persamaan (1)
4p+q = 12
4(2)+q = 12
8+q = 12
q = 12-8
q = 4
Jadi p = 2 dan q = 4
Diketahui p = 2, q = 4
Maka rumus fungsinya adalah f(x) = 2x+4
f(x) = 2x+4
f(-5) = 2(-5)+4
f(-5) = -10 + 4
f(-5) = -6
4. Grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y =ax2-5x-3 memotong sumbu x. Salah satu titik potongnya adalah (- ½,0), maka nilai a adalah …..
Penyelesaian:
Melalui titik (- ½ ,0), maka
y = ax2-5x-3
0 = a(- ½)2-5(- 1/2 )-3
0 = a + – 3
a + 0-2 = 0
a – 2= 0
a = 2
5. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x-1) (x-3) adalah….
Penyelesaian
y = (x-1) (x-3)
y = x2-3x-x+3
y = x2-4x+3
a = 1 b = -4 c = 3
koordinat titik balik
, -
= , -
= , -
= (2, -1)